從無窮開始：科學的困惑與疆界

下文節選自《 從無窮開始：科學的困惑與疆界》，已獲圖靈授權，【遇見數學】特此表示感謝！

“是誰？太好了，讓‘無窮’進來。”

——路易·阿拉貢，《夢潮》（1924）

人類能直接認知的事物是有限的。但“無窮”二字經常會在思考的瞬間乍現。伊曼努爾·列維納斯曾經說過：“有些事物能讓思想超越一切限制，而這種特質就是‘無窮’。”但是，“無窮”這一概念是否真實存在於自然界，存在於試圖描述自然界的科學之中？它是否存在於世間萬物之中？它是否構成了一個實在、多重的現實維度？或者，它僅僅是人類思維中一種虛構的概念，沒有任何一種物理現象與之對應？對於這些難題，亞裡士多德曾給出過完整的闡釋。

運動、空間、時間……每一種量都只有兩種可能——有限或無限。然而，亞裡士多德在《物理學》中提出，實際已知的實體和實際可實施的流程才是有限的。因此，他的學說並不排斥對“無窮”的思索。不過，亞裡士多德並未真正承認這些概唸的存在，他認為“無窮”是“潛在的”，而並非實際存在。

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一位步行者可以無限地重複行走，一步又一步……原則上，他總能再多走出一步。“無限重複”引出了最初的“無窮盡”的概念：這種總能“再向前走一步”的特性就是“潛無窮”。這一概念自然而然地聯絡到自然數的連續性上：1、2、3……一個數後面總跟著另一個數，不存在最後一個數，因為必有後續者。這就是“遞推法”的基本原理，數的“潛無窮”概念就此誕生。

不過，數字 2 的存在已經預示著“潛無窮”，因為 2=1+1，我們完全可以照這樣的式子寫下去，2+1=3，3+1=4，永無止境。1 是一個單位，2 是一種變化，變化多端。如果說 2 已經預示著無窮，這是否意味著，“變化”與“多樣”本身就是潛在的無窮呢？

可見，無窮不僅是自然科學問題，也是哲學問題，涉及了神學、藝術、倫理學……因此，我們需要區分宇宙科學、物質科學與數字科學，即數學。

亞裡士多德把“無窮”與“未完成”聯絡到了一起。在繼他之後的幾個世紀裡，科學家——尤其是哲學家與神學家，都強烈反對“實無窮”理念，他們表現得十分激動，甚至超乎常理了。早期的基督教神父們、新柏拉圖派學者和經院哲學家們認為，“無窮”首先是上帝的屬性。而後，這個概念從神學領域發展到數學與自然哲學領域，闡述了關於透視幾何學（15 世紀）、宇宙無限大（17 世紀）與無窮小（17 到 18 世紀）的概念。由此，“無窮”變得可以被理解。從兩百年前開始，無窮才作為數學與邏輯學領域中的一個獨立概念被建立和歸納。

當物理學家竭力把無窮從理論中驅除出去的時候，數學家卻很支援這一概念。實際上，無窮與數字和集合的概念有關。是否存在一個數字與無窮相關？是否存在包含無數元素的集合？我們提出的問題或許有些幼稚。沒有人能說清楚數學上的“存在”到底意味著什麼。數字是否“存在”於我們這個維度之外的另一個現實之中？總之，無窮在兩千年中一直是各種悖論的根源，這些悖論阻礙了無窮理論的建設。在諸多悖論中，最令人震撼的無異於“不可分論”（無窮小）與“自反性”（無窮大）。事實上，無窮大與無窮小這兩種無窮貌似密不可分：比如，在一個極小的長度上，似乎能找到無數多個無窮小的點。

無窮在數學中“無所不在”，讓人類吃驚不已。因為人是一種有窮盡、受限制的生命體，禁錮在一顆有限的星球之上。然而，我們這種有限的生物卻在研究著無窮，不斷探索這一概念，因為這對理解“有限”的概念是不可或缺的。一個最直接的例子就是 π 的計算，即圓的周長與其半徑的比例關係。π有無窮多位小數，但我們卻用了一個包含無盡小數的數字來表達它。為了計算這一數字——阿基米德曾嘗試過——需要用到一個無窮的計算過程。

19 世紀初，數學家伯納德·波爾查諾（1781—1848）首次提出，“無窮”與“有界”處於同等狀態。到了 19 世紀末，格奧爾格·康託爾（1845—1918）的研究讓眾多科學家心生恐慌，最終被否定、被棄置。康託爾獨自戰鬥著，最終精神失常。如今，人們將他的研究視為現代數學的起源。

直至 20 世紀，無窮的概念幾經波折，才在物理學中重新贏得一席之地。諸如場的量子理論、相對論或黑洞模型等理論引發了新的“無窮”概念。自此，“有窮”與“無窮”開始在相同的模型中並駕齊驅。

作者：讓‐皮埃爾•盧米涅 , 馬克•拉雪茨‐雷

譯者：孫展

出版社：人民郵電出版社圖靈新知

這本書描述了“無窮”在宇宙學、數學和基礎物理學中平行發展的故事。各學科的無數學者孜孜不倦地對這一主題進行闡釋。我們將講述某一思想流派或某一時代最具代表性的成果。從亞裡士多德、盧克萊修、布魯諾、牛頓、波爾查諾、康託爾到愛因斯坦，眾多富有遠見卓識的天才共同撰寫了無窮的傳記。而關鍵在於，我們要明白為什麼在歷史的每個階段，“無窮”的物理意義都與其形而上學的意義錯綜相連。

瞭解一門科學的歷史是必不可少的。一個人若不知其歷史，就不可能明白這門科學的實質。在跳出歷史後，我們想藉助愛因斯坦之後近一個世紀的現代理論微光，來重新思考“無窮”的現實意義。尤其是，相對論仍是物理學中碩果僅存的“實無窮”之一——空間無窮、時間永恆。這也反映出相對論在科學領域中特殊的認識論地位。物理學最前沿的發展，如時空拓撲學、重正化、量子真空、弦理論、量子宇宙學都讓“無窮”不斷死而後生，正如傳說中的鳳凰涅槃……(完)